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调正相异构想 提高学习效率
——“平行四边形面积”教学实践与思考
撰稿人:毛亚峰    录入人: 校行政办     录入时间:2018/6/19    点击数:490次

  教育理论上把学生由感性认识得出的偏离科学现象本质和科学概念的理解与想法称为相异构想。学生相异构想的产生直接影响着学习的成效。如何调正学生的相异构想、使之与标准一致呢?本文以“平行四边形的面积”一课为例,谈一谈粗浅的做法与想法。在实践中,我经历了教学前测、相异构想的评估、调正策略的确定与实施、效果反思等过程。

  一、教学前测

  本次前测对象为城镇学生1195名和农村学生832名,共计2027名学生。前测题为:你能想办法求出这个平行四边形的面积吗?可以应用下列工具。

  材料:平行四边形纸片(一组邻边长7厘米、5厘米,7厘米底边上的高是3厘米。但纸片上没有数据。)剪刀、细绳、三角板、1平方厘米的正方形纸片30个、透明的网格、铅笔。

  观察记录表:

  注:不正确的人数共占28.10%,正确的人数共占65.63%。

  二、相异构想的评估

  对学生相异构想的评估,主要从“四基”方面进行,具体评估如下。

  1.确定评估标准。

  (1)基础知识标准:掌握平行四边形面积的计算方法;

  (2)基本技能标准:能应用公式正确计算平行四边形的面积,解决简单的实际问题;

  (3)基本思想标准:能用“转化”的方法推导平行四边形面积的计算公式,认识到“转化”的数学思想在推导中的作用。

  (4)基本活动经验标准:在操作中积累“转化”的活动经验,以便在以后的学习中遇到相似的题能调用该经验加以解决。

  2. 评估相异构想。根据教学前测结果,对照评估标准,学生的相异构想评估可概括为以下两点:

  (1)已有65.63%的学生能计算(数)出平行四边形的面积,有较好的学习基础。但仅有9.97%的学生明确测量底和高进行计算。同时有13.02%的学生用“邻边相乘”的方法计算平行四边形的面积,这是长方形面积计算方法“负迁移”的结果。

  (2)有93.73%的学生进行了操作,尽管其中有28.10%的学生是错误的,但表明学生有学习的意愿和想法。但同时,又仅有21.41%的学生知道把平行四边形转化成长方形进行测量、计算,表明学生缺乏“转化"的活动经验。

  三、调正策略的确定与实施

  1.确定调正策略——借助方格引导学习。方格是学生所熟识的学习面积的“工具”,通常是指边长为1厘米的小正方形。第一次出现是在三年级下册,在帮助学生初步构建单位面积和推导长方形、正方形面积计算公式时,发挥了不可替代的作用。到了五年级上册学习平行四边形面积时,教材中也编排了留助方格数平行四边形面积的学习内容,但在课堂中出现了两种处理方式:一种是公公当作“数”的工具,通过数平行四边形和长方形的面积,发现两者的关系。另一种则完全抛弃了方格,认为五年级再用方格研究面积起点太低,直接进入了操作环节。我在教学实践中,充分发挥方格的不同“功效”,为调正学生的相异构想起到了积极的作用。

  2.调正策略的实施(课堂实录)

  (片断一)引入:简要复习平行四边形的特点,并出示下图,尝试求平行四边形的面积。   

  学生做法收集:

  ①(8+5)×2=26(cm2)  求周长

  ② 8×5=40(cm2)              邻边相乘

  ③ 8×3=24(cm2)              底乘高

  (片断二):辨析邻边相乘

  师:这种方法是哪位同学做的?请你介绍你的想法。

  生:因为长方形的面积是长乘宽,是邻边相乘,所以平行四边形的面积也是邻边相乘,就是8×5。

  师(评价并提出研究方法):他从长方形的面积计算方法猜想到平行四边形的面积是邻边相乘,有一定的道理。下面,我们把平行四边形放在网格上来研究,到底是不是邻边相乘!

  师(引导并示范):把平行四边形的框架放在网格上,沿箭头所示的方向推一推,再看一看、想一想,你有什么发现?(学生操作,师巡视,然后交流。)

  师1:我发现不停地推下去,面积一直先是在变大,当推成长方形后面积达到最大,如果再推面积又开始慢慢变小(如下图依次所示)。

  生2:我发现这样堆,邻边的长度没有变化,但是形状变了,面积也变了。

  生3:我还发现是这个角度在变化(在框架上指),所以形状和面积变了。

  ……

  师(小结):我们把平行四边形放在方格上,通过推来研究发现,用邻边相乘求平行四边形的面积是——(生齐)错误的!

  (片断三):研究底乘高

  师(引入):底乘高是不是求平行四边形面积的方法呢?你们想怎么研究?

  生:刚才我们是在方格上研究的,那还是放在方格上研究吧!

  师:你想怎么研究?把你的想法在图上表示出来。(生研究,师巡视。)

  师:它的面积是底乘高吗?你是怎么想的?

  生1:我认为是的。我是数出来的。我先一格一格数,正好有18格,这些不足一格的,我把这里拼到那里,一共是6格,加起来是24格,也就是24平方厘米。跟底乘高算出来的结果一样(如下图)。   

  师(引导):像他这样数,一共有24个1平方厘米,它的面积就是24平方厘米。可以吗?谁还有不同的方法?

  生2:我不是数的,但我的方法比他方便。(实物投影)我把这里割下来,移到这里,变成了长方形。8乘3是24,所以面积是24平方厘米。我也认为底乘高是对的(如下图)。  

  师:他用割补的方法,把平行四边形转化成长方形来研究面积确实是24平方厘米。是不是所有的平行四边形都能用割补的方法转化成长方形呢?

  生1:我认为可以。

  师2:我有疑问,不太清楚。

  师:到底可不可以呢?请你拿出平行四边形的纸片试一试。(学生迫不及待地拿出平行四边形的纸片,尝试用剪、拼的方法转化成长方形。)

  ……

  (片断四):拓展练习

  师:老师买了一个平行四边形的车位,面积是18平方米,想一想,它可能会是怎样的?把你想的画在方格纸中。(学生想、画,教师巡视。)

  师:可能是怎样的呢?我们来看一看。(展示学生画的图)

  生1:跟我想的一样

  生2:我有不同意见。虽然它们的面积都是18平方米,但是图二和图三不适合作车位。因为这样的车位车是开不进去的。(其他学生纷纷点头)

  师:是啊,底9米、高2米和底18米、高1米的平行四边形边,虽然面积都是18平方米,却不运作车位。第一种底6米、高3米的平行四边形边比较合适。底6米、高3米这里还有两个,再来看一看可以做车位吗?   

  生:可以。

  师:底6米、高3米的平行四边形还有吗?想一想,用手比划一下。

  (在学生比划的基础上,课件演示如下。):   

  师(追问):有多少个?

  生:无数个。

  师:是不是底6米、高3米的平行四边形都合适呢?(学生思考)

  师(引导):比如这个。   

  生:不可以,车开不进去了。

  师(小结):我们在设计停车位的时候,不能光考虑这的面积,还要考虑它的形状。

  四、效果反思

  小小的方格,在学生学习平行四边形面积的不同环节中都发挥了极其重要的作用,是学生学习的“助推器”,其作用主要体现在以下几方面。

  1. 有助于学生积累、更新活动经验。数学活动经验对于学生理解、掌握知识起着至关重要的作用。同时,由于受知识、年龄的限制,小学生活动经验的积累与更新必须亲身经历、多种感官参与,在动手操作、用眼观察、动口介绍、动脑思考中获得。如在本课中有两处由于恰当地使用了方格,有助于学生感性经验的获得。其一,是在辨析邻边相乘是不是计算平行四边形的面积计算方法时。学生通过推动放在方格上的平行四边形的框架,观察框架中的方格数量,从直观上可以得到邻边的长度没有变,但形状和面积都在发生着变化。这里的方格起着“量化”的作用。尤为可贵的是一位学生通过操作、观察,发现由于角度发生了变化,才促使形状和面积同时变化,这一经验为第三学段学习函数知识种下了一颗珍贵的种子。其二,是在用数的方法数出方格纸上平行四边形的面积时。通过对比数的结果与底乘高计算的结果,初步肯定了底乘高是计算平行四边形面积的方法。这里的方格为“数”提供了必备的“工具”,试想,没有方格,学生能完成“数”的任务吗?同时,在数的过程中(不足一格)不知不觉用到了“补”的方法,为后续学习作好了方法准备。

  2. 有助于引发学生主动地用割、补的方法转化平行四边形。平行四边形面积计算公式的推导,是在用割、补的方法把平行四边形转化成长方形后,通过观察两者的关联而进行的。那么,学生怎么就想到把平行四边形转化成长方形呢?根据对学生的调查发现:在没有任何提示的情况下,学生不可能想到这样做。而在一些课堂中,学生的操作往往是根据老师的指令进行的。这样的操作,学生开始是盲目和茫然的,不知为什么要这样做。能不能让学生在探究过程中,主动地想到这样去做呢?在本课中,面对印在方格上的平行四边形,不少学生都想到了把“突”出来的三角形割下来,“移”到另一边,正好“补”成一个长方形。或许是这样做便于数方格,或许是对长方形认识的定势影响,但他们的无心之举,恰恰完成了本课的核心操作——用割、补的方法把平行四边形转化成长方形。接着老师的一句话“是不是所有的平行四边形都能转化成长方形呢?”一石激起千层浪,有的认为可以,有的认为不可以。并迫不及待地拿起平行四边形纸片进行探究,为成功验证、推导平行四边形面积计算公式奠定了基础。

  3. 有助于学生学以致用,主动地把数学与生活实际联系起来。数学来源于生活,并最终回归于生活。通过数学学习,使学生学会尝试用数学的眼光审视生活,用数学的思维思考生活现象,用数学的方法解决生活中的数学问题。如何在本课中落实这一潜在目标呢?我设计了“画平行四边形停车位”的拓展练习。面积是18平方米的平行四边形停车位可能是怎样的呢?学生根据新学的平行四边形面积的知识、借助方格纸进行设计。设计后分三个层次进行交流:首先,通过比较不同底、高的平行四边形车位,得到底6米、高3米的比较合适。其次,通过观察、想像底6米、高3米的平行四边形有无数个。再次,思考这些底6米、高3米的平行四边形是否都适合作车位呢?从而认识到设计停车位要考虑实际情况,即实用性。在这一环节中,小小的方格起到了大作用:一方面便于学生设计,发挥了“尺”的功效;另一方面,便于学生观察比较,引发他们想像与思考。

      4. 有助于发展学生的推理能力。综上所述,小小的方格引领着本课的进程,挑起了推进课程演绎的“重任”:推平行四边形框架,获取感性经验→割、补平行四边形,初步获得探究方法→设计停车位,应用知识解决生活问题。每一个关键环节都有小小方格的“身影”。同时在每个环节中,结合方格的应用,有效地发展了学生推理能力。《数学课程标准(2011年版)》中明确提出:“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。……合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果。”小学五年级的学生,他们的思维正处于具体形象思维向抽象逻辑思维发展的过渡时期,推理能力也是以合情推理为主、演绎推理为辅,因而在培养与发展推理能力时,必须借助辅助工具。据此,在课中通过推诿在方格上的平行四边形框架,根据观察所得推断出邻边相乘不是求平行四边形面积的方法;通过割、补方格上平行四边形推想是否所有的平行四边形都能用这种方法转化成长方形;通过观察、比较画在方格上的平行四边形车位,结合生活经验推测车位形状的合理性。小小的方格成为学生顺利展开想象、发展推理能力不可或缺的“辅助工具”。

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